17.6. EXERCICES
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où e1 et e2 sont deux applications définies sur un voisinage réel de 0, à valeurs
dans JE et admettant une limite nulle en O. Ainsi,
f(x + h) x g(x + h) = [f(x) + hj'(x) + he1(h)] x [g(x) + hg'(x) + he2(h)]
= f(x) x g(x) + h [J'(x)g(x) + f(x) x g'(x)] + he3(h)
où e3 est définie par
e3(h) =f(x) xe2(h)+hf'(x) xg'(x)+e1(h) xg(x+h).
Cette dernière application admet une limite nulle lorsque h tend vers O.
L'application f x g admet ainsi un développement limité d'ordre 1 en x. Elle
est donc dérivable en x avec
(f x g)' (x) = J'(x) x g(x) + f(x) x g'(x).
3. Évident, à l'aide d'une preuve par récurrence en utilisant la question précédente. Dans le cas où f(x) et f'(x) commutent, on obtient
Exercice 17.6 On considère l'application exponentielle définie par
exp: JE ----+ JE
A
Cette application a déjà été définie dans l'exercice 15.11 page 266.
1. Montrer que l'application exponentielle est continue sur JE.
2. On considère I un intervalle réel et f une application définie et de classe C 1
sur I et à valeurs dans JE. On suppose que les applications f et f' commutent.
Montrer que l'application
'11: I ----+ JE
t ~ exp(f(t))
est dérivable sur I et indiquer sa dérivée.