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SÉRIES DE FONCTIONS
L'application f étant impaire, elle est dérivable sur JR*, de fonction dérivée paire.
D'où,
\lx E lR*,
1
+oo 1
1 - nx2
f (x) = ~ ..;n· (1 + nx2)2.
Cet exercice est un exercice préliminaire à l'exercice suivant 17.6.
Exercice 17.5 On considère (D, d) un espace métrique, (JE,+, x, .) une algèbre de
Banach de norme notée 11·11. f et g deux applications définies sur D à valeurs dans JE.
1. Soit x un élément de D. Montrer que si f et g sont continues en x, alors
l'application f x g est continue en x.
On suppose dans les deux questions suivantes que D est un intervalle de lR que
l'on notera I. On considère x un élément de I et on suppose f et g dérivables
en ce point.
2. Montrer que l'application f x g est dérivable en x et donner la dérivée en ce
point.
3. Soit n un entier strictement positif. On noter. l'application r = f X .•. X f.
~
n fois
Vérifier que r est dérivable en X et indiquer sa dérivée dans le cas où f(x) et
f'(x) commutent.
Solution.
1. Soit e un réel strictement positif. Choisissons un réel a strictement positif
vérifiant
\/y ED, d(
)
{
llf(y) - f(x)ll::; min{e, 1},
x,y ::; a=?
llg(y) - g(x)ll::; min{e, 1}.
Soit y un élément de D vérifiant d(x, y) ::; a.
llf(y) x g(y) - f(x) x g(x)ll
::; llf(y) x g(y) - f(x) x g(y)ll + llf(x) x g(y) - f(x) x g(x)ll
::; llg(y)ll·llf(y) - f(x)ll + llf(x)ll·llg(y) - g(x)ll::; (llg(y)ll + llf(x)ll) .e
::; (llf(x)ll + llg(x)ll + 1) .e
L'application f x g est ainsi continue en x.
2. Les applications f et g étant dérivables en x, elles admettent un développement limité en ce point.
f(x + h) = f(x) + hf'(x) + he1(h),
g(x + h) = g(x) + hg'(x) + he2(h),