17.6. EXERCICES
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Exercice 17.4 Montrer que la fonction
+oo
f(x) = ~ yln(l: nx2)'
est définie sur ~ et dérivable sur ~*.
Solution. On définit la suite Un)n?.1 par
\:/n ;::: 1, \:/x E ~'
X
fn(x) = yln(l + nx2)"
Remarquons que
\:/n 2' .' . 1, fn(O) =O.
Donc f est définie en 0 avec f(O) ·=O. D'autre part, pour tout réel x non nul,
X
1
fn(x) = yin(
2 "' - 3 •
n 1 + nx ) xn2
On en déduit que la série Ln>l fn(x) est convergente et que f est définie sur~On peut remarquer que l'application f est impaire. Pour montrer sa dérivabilité
sur ~*, il suffit de montrer sa dérivabilité sur ~+*.
\:/n ;::: 1, \:/x > 0,
,
1
1- nx 2
fn(x) = y1n· (1 + nx2)2.
Donc,
\:/n ;::: 1, \:/x > 0,
,
1
1 + nx 2
lfn(x)I ~ y1n· (l + nx2)2
Soit a un réel strictement positif.
\:/n;::: 1, \:/x E]a, +oo[, lf~(x)I ~ ~- 1
1
2 .
yn
+na
Or,
1
1
1
yin" l + na2 rv n~a2 ·
On en déduit que la série de fonctions Ln>l f~(x) est normalement convergente
sur l'intervalle ]a, +oo[ et que l'application] est dérivable sur cet intervalle. L'application f est ainsi dérivable sur l'ouvert
avec,
\:/x E)O, +oo[,
+oo 1
1 - nx 2
f'(x) = ~ y1n· (1 + nx2)2.