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SÉRIES DE FONCTIONS
Ainsi,
\ln;:::: 2, \lx E IR, lf~(x)I = (n 2 : l) 2 .
Or,
n
1
(n2 - 1)2 rv n3.
La série En> 2 f ~ est normalement convergente sur lR. Pour tout entier supérieur
ou égal à 2, J~ est continue sur lR. On en déduit que f est de classe ci sur lR avec,
\lx E IR,
+oo
1
' °"' -n cos nx
f (x) = ~ (n2 +sinnx) 2 '
Exercice 17.3 Étudier l'ensemble de définition, la continuité et la dérivabilité de la
fonction
+oo
1
f(x) = L x2 +n2·
n=i
Solution. On définit la suite d'applications Un)n?.i par,
\ln ;:::: 1, \lx E IR,
1
fn(x) = 2
2·
X +n
Pour tout entier n supérieur à 1, l'application f n est dérivable sur lR avec,
\ln;:::: 1,Vx E IR,
Soit a un réel strictement positif.
\lx E [-a,a],
-2x
f~(x) = (x2 + n2)2.
l!~(x)I s 2 ~.
n
La série En>i f~ est normalement convergente sur l'intervalle [-a, a]. En remarquant que la-série En>i fn(O) est convergente, on en déduit que l'application f
est définie et de classe ci sur tout intervalle de la forme l - a, a[ où a est un réel
strictement positif. L'application f est définie et de classe ci sur Ua>ol - a, a[= lR
avec,
\lx E IR,