17.6. EXERCICES
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(a) Supposons la suite (un)neN convergente vers O. Soit c un réel strictement
positif. Il existe un entier positif no tel que
On obtient
Un0 = sup lakl ~ é.
k?.no
Vn 2 no, lanl ~ c.
La suite (an)neN est convergente vers O.
(b) Supposons réciproquement la suite (an)neN convergente vers O. Soit c
un réel strictement positif. Il existe un entier positif no tel que
Ainsi,
Vn 2 no, Un = sup lakl ~ c.
k?.n
La suite (un)neN est convergente vers O.
En conclusion, la série Ln>O an].[n,n+l[ est uniformément convergente sur
JR+ si et seulement si la suitë (an)neN est convergente vers O.
3. Par définition, la série de fonction Ln>O an].[n,n+l[ converge normalement
sur JR+ si la série
-
est convergente.
Exercice 17.2 Montrer que la fonction
+oc
1
f (x) = L -n~ 2 -+-s-in_n_x
n=2
est C 1 sur IR.
Solution. On définit la suite d'applications Un)n?.2 par,
Vn 2 2, Vx E IR,
1
fn(x) = 2 •
•
n +smnx
D'une part, la série numérique Ln?. 2 (fn)(O) est convergente. D'autre part,
Vn 2 2,Vx E IR,
,
-ncosnx
fn(x) = (n2 +sinnx)2 .