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SÉRIES DE FONCTIONS
Nous venons de montrer ·que la suite (An)n;:::2 vérifie le critère de Cauchy uniforme. L'espace vectoriel normé (IF,11·11) étant complet, on en déduit qu'elle est
uniformément convergente sur I ainsi que la suite (Tn)nEN· La série En>O 9nfn
est donc uniformément convergente sur I.
-
tft
17.6 Exercices
Exercice 17.1 On considère (an)nEN une suite réelle. On définit sur JR.+ la série de
fonctions
L: an1[n,n+l[·
n;:::o
1. Montrer que cette série est simplement convergente sur JR.+ vers une fonction
que l'on déterminera.
2. À quelle condition sur la suite (an)nEN• la série est-elle uniformément convergente sur JR.+?
3. À quelle condition sur la suite (an)nEN• la série est-elle normalement convergente
sur JR.+?
Solution. On note (Sn)nEN la suite des sommes partielles.
1. Soit x un réel positif. Alors,
Vn < E(x), Sn(x) = 0, et Vn 2: E(x), Bn(x) = aE(x)·
La suite des sommes partielles (Sn ( x) )nEN est stationnaire et convergente
vers aE(x)· La série (En>o an1[n,n+l[(x))
est donc convergente vers
-
nEN
aE(x)·
2. D'après la proposition 17.2, la série converge uniformément sur JR.+ si et
seulement si la série des restes (Rn)nEN est uniformément convergente sur
JR.+ vers O.
+oo
Vn EN, Vx E JR.+, Rn(x) = L ak],[k,k+l[(x).
k=n+l
Soit n un entier naturel,
Vx < n + 1, Rn(x) = 0 et Vx 2": n + 1, Rn(x) = aE(x)·
Donc,
Vn E N, sup IRn(x)I = sup lakl.
xER+
k;:::n+l
La série converge uniformément sur JR.+ si et seulement si la suite définie par
Vn EN, Un= sup lakl
k;:::n+i
est convergente vers O. Vérifions que (un)nEN est convergente vers 0 si et
seulement si (an)nEN' converge vers O.