17.5. CRITÈRE D'ABEL UNIFORME
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Théorème 17.8 Soient Un)nEN une suite de fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé complet lF et (gn) une suite de fonctions à valeurs réelles,
toutes deux définies sur un intervalle I, vérifiant
1. 3M > 0, 't:/n EN, 't:/x E I, Il I:;=O fv(x)ll :::; M,
2. la suite (gn) converge uniformément sur I vers 0 en décroissant.
Alors la série Ln~O gnfn converge uniformément sur I.
Preuve. Notons pour tout entier naturel n, les applications Sn et Tn définies sur
I par
n
n
Sn= Lfk et Tn = L9kfk·
k=O
k=O
Nous devons montrer que la suite (Tn)nEN converge uniformément sur I.
n
n
n
n
't:/n 2' . 2, Tn = L9kfk = L9k(Sk-Sk-1)+gofo = LgkSk- LgkBk-1 +gofo
k=O
k=l
k=l
k=l
n
n-1
n-1
= LgkSk - L gkHSk + gofo = L(gk - 9k+i)Sk + 9nBn - gifo + gofo.
k=l
k=O
k=l
Nous avons
't:/x E I, llBn(x)gn(x)ll :::; Mllgn(x)ll·
La suite (gn)nEN étant uniformément convergente sur I vers la fonction nulle, la
suite (Sngn)nEN l'est aussi. Il suffit maintenant de prouver que la suite (An)n>2
définie par
n-1
't:/n 2' . 2, An= L(gk - 9k+i)Sk
k=l
est uniformément convergente sur I. Pour cela nous allons montrer qu'elle vérifie
le critère de Cauchy uniforme sur I. Soit M un réel positif vérifiant
't:/n EN, llSnll:::; M.
La suite (gn)nEN est uniformément convergente vers 0 en décroissant. Soit e un
réel strictement positif. Considérons un entier naturel n0 vérifiant
't:/n 2' . no, 't:/x E I, 0:::; 9n(x) :::; e.
Alors,
p-1
:::; L M(gk(x) - 9k+i(x)) = M(gn(x) - gp(x)):::; Mgn(x):::; Me.
k=n