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SÉRIES DE FONCTIONS
17 .4 Propriétés des séries de fonctions
uniformément convergentes
Théorème 17.5 On considère (JE, d) un espace métrique, Un)nEN une suite
de fonctions définies et continues sur JE, à valeurs dans un espace vectoriel
normé (JF, 11-11). Si la série En>o fn est uniformément convergente sur JE vers
une fonction S, alors S est coiilinue sur JE.
Preuve. Évident d'après le théorème 16.4, page 271.
Théorème 17.6 On considère Un)nEN une suite de fonctions définies et continues sur un segment [a; b] à valeurs dans lF espace vectoriel normé complet. Si
la série En~o fn est uniformément convergente sur [a; b], alors
b +oc
+oo b
1 L J n(t)dt = L 1 fn(t)dt.
a n=O
n=O a
Preuve. Évident d'après le théorème 16.6, page 272.
Théorème 17.7 Soit Un)nEN une suite de fonctions de classe ci sur un intervalle I à valeurs dans lF espace vectoriel normé complet. On suppose
1. qu'il existe xo E I tel que la série En~o fn(xo) converge.
2. que la série de fonctions En~o f ~ converge uniformément sur I.
Alors,
1. la série En>O f n converge simplement vers une fonction s de classe ci
vérifiant
-
+oo
't:/x E J, S'(x) = L f~(x).
n=O
2. Si l'intervalle I est borné, la convergence est uniforme.
Preuve. Évident d'après le théorème 16.7, page 273.
17.5 Critère d'Abel uniforme
On suppose pour le théorème suivant que (JF, li.li) est un espace vectoriel normé
complet.