17.3. CONVERGENCE NORMALE D'UNE SÉRIE DE FONCTIONS
2. Supposons qu'il existe une suite de réels (an)nEN vérifiant
(a) \ln EN, \lx EX, llfn(x)ll :::; ani
(b) la série l:n~o an est convergente.
Nous avons alors
\ln EN, sup llfn(x)ll:::; an.
xEX
la série l:n~o an étant convergente, il en est de même de la série
L sup llfn(x)ll·
n~oxEX
La série l:n~o fn est normalement convergente sur X.
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Théorème 17.4 Soit Un)nEN une suite de fonctions définies sur un ensemble
X à valeurs dans un espace vectoriel normé complet (IF, li-ID· Si la série de fonctions l:n>o fn converge normalement sur X alors elle converge uniformément
sur X. -
Preuve. On suppose la série l:n~o fn normalement convergente sur X. La série
numérique
L sup llfn(x)ll
n~oxEX
est convergente, donc de Cauchy. Soit c un réel strictement positif.
p
3no EN, \ln:'.'.:: no, Vp :'.'.::no, p > n =? L sup 11/k(x)ll:::; c.
k=nxEX
Soient n et p deux entiers supérieurs à n0 vérifiant p > n. Alors,
p
\lx EX, llSp(x) - Sn(x)ll:::; L sup 11/k(x)ll:::; c.
k=n+l xEX
D'où
sup llSp(x) - Sn(x)ll :::; c.
xEX
La suite (Sn)nEN vérifie le critère de Cauchy uniforme sur X. L'espace vectoriel
normé (IF, li-ID étant complet, elle est uniformément convergente sur X ainsi que
la série l:n~O f n.
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