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SÉRIES DE FONCTIONS
Proposition 17.1 On considère une suite de fonctions Un)nEN et une fonction f, toutes définies sur un ensemble X à valeurs dans un espace vectoriel
normé (IF, li.li). La série Un)nEN converge uniformément vers f sur X si et
seulement si
n
lim sup Il Lfk(x) - f(x)ll = 0
n-++oo xEX k=O
Preuve. Immédiat d'après la proposition 16.1 page 270.
Proposition 17.2 Soit Un)nEN une suite de fonctions définies sur un ensemble X à valeurs dans un espace vectoriel normé (IF, li.ID· La série de fonctions Ln;:::o f n converge uniformément sur X si et seulement si
1. La série Ln;:::o fn converge simplement sur X,
2. la suite Rn = Et,:+ 1 fk des restes converge uniformément vers 0 sur
X.
17.3 Convergence normale d'une série
de fonctions
Définition: Soit Un)nEN une suite de fonctions définies sur un ensemble
X à valeurs dans un espace vectoriel normé (IF, li.ID· La série de fonctions
Ln;:::o fn converge normalement sur un ensemble X si la série
L llfnlloo = L sup llfn(x)ll
n<::O
n;:::oxEX
est convergente.
Proposition 17.3 Soit Un)nEN une suite de fonctions définies sur un ensemble X à valeurs dans un espace vectoriel normé (IF, 11·11). Une série de fonctions Ln>o fn converge normalement sur un ensemble X si et seulement si il
existe une suite de réels (an)nEN vérifiant
1. \ln EN, \lx EX, llfn(x)ll:::; an,
2. la série Ln;:::o an est convergente.
Preuve.
1. Supposons la série Ln>o f n normalement convergente sur X. Il suffit alors
de choisir
-
\ln EN, an= sup llfn(x)ll ·
xEX