Chapitre 17
Séries de fonctions
1 7 .1 Définition
Définition: Soit Un)nEN une suite de fonctions définies sur un ensemble
X et à valeurs dans un espace vectoriel IF. On appelle série de fonctions
de terme général fn, la suite (Sn)nEN définie par
n
Vn EN, Sn = fo +fi + · · · + f n = L fk·
k=O
On note cette série Ln>o fn· Pour tout n E N, fn s'appelle le terme
d'indice n, Sn s'appelle la-somme partielle d'indice n de la série Ln2'.0 f n·
17.2 Divers types de convergence d'une série
de fonctions
Définition : Soit Un)nEN une suite de fonctions définies sur un ensemble
X et à valeurs dans un espace vectoriel normé (IF, li.li). On dit que la série
de fonctions Ln2'.0 fn converge
1. simplement sur X si pour tout x élément de X, la série Ln2'.0 fn(x)
est convergente.
2. absolument sur X si la série Ln>O llfnll converge simplement sur
X.
-
3. uniformément sur X si la suite des sommes partielles (Sn)nEl\I
converge uniformément sur X.