19.6. L'EXPONENTIELLE DE MATRICE
1. On effectue le changement de variable
Y = exp(tA).Z.
D'après la proposition 8.7, page 99 et la proposition 19.2,
'v't E IR, Y'(t) = (exp(tA))' .Z(t) + exp(tA).Z'(t)
= Aexp(tA).Z(t) + exp(tA).Z'(t).
L'application Y est solution de (19.16) si et seulement si
Aexp(tA).Z(t) + exp(tA).Z'(t) = Aexp(tA).Z(t)
{:} exp(tA).Z'(t) =O.
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Pour tout réel t, exp(tA) est une matrice inversible, ainsi Y est solution de
(19.16) si et seulement si
'v'tEIR, Z'(t)=O,
c'est-à-dire si et seulement si Z est une application constante. Les solutions
de l'équation différentielle (19.16) sont les applications de la forme
'v't E IR, Y(t) = exp(tA).u,
où u est un vecteur de ocn.
2. Une application Y est solution de (19.17) si et seulement si
'v't E IR, Y(t) = exp(tA).u
avec
uo = exp(toA).u,
c'est-à-dire
u = exp('-toA).uo.
Ainsi, l'équation différentielle (19.17) admet comme unique solution l'application
'v't E IR, Y(t) = -exp((t - to)A).uo.