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SUITES DE FONCTIONS. DIVERS TYPES DE CONVERGENCE
4. En déduire que les espaces vectoriels normés (C([O, 1], JR.), li-Ili) et (C([O, 1], JR.), 11-11 2 )
ne sont pas complets.
Solution.
1. Soit n un entier strictement positif. La restriction de l'application fn à l'intervalle [O, n 1 11" [ est continue. Il en est de même pour l'intervalle ] n~, 1]. De
plus
lim f(t) = lim f(t) = 0 = f (2-) .
t-+(n1,, )t-+(n1,, t
mr
L'application fn est continue sur le segment [O, 1].
2. Soient n et p deux entiers strictement positifs vérifiant p > n. Nous remarquons que
1
1
Vt E [0, -] U [-, 1], fn(t) = fp(t).
prr
nrr
D'où,
llfn - fpll1 = f n
1
" lsin (!) 1 dt~ (2- -_!_) ~ 2-.
...!...
t
nrr
prr
nrr
P"
On en déduit que la suite Un)nEN* est une suite de Cauchy de l'espace
(C([O, 1], JR.), 11-111) et de l'espace (C([O, 1], JR.), 11-112).
3. Soit g un élément de C([O, 1], JR.) vérifiant
3to E]O, 1], g(to) #sin c~) .
Il existe alors un segment [a, b] inclus dans l'intervalle ]O, 1] et contenant to
tel que
Soit no un entier strictement supérieur à a~. Alors,
Vn 2: no, llg - fnll1 2: 1b lg(t) - fn(t)ldt
= 1b lg(t) - sin(~) 1dt2: (b; a) lg(to)- sin(~) I ·
On en déduit que la suite Un)nEN* ne converge pas vers g dans l'espace
(C([O, 1],JR.), 11-IJi). Donc si la suite Un)nEN* converge dans cet espace, sa
limite, que l'on note f, vérifie
Vt E]O, 1], f(t) =sin(~).