16.5. COMPARAISON DES DIFFÉRENTS TYPES DE CONVERGENCE
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Une telle application n'admet pas de limite en O. Elle ne peut être continue
sur le segment [O, 1]. On en déduit que la suite Un)neN• n'est pas convergente
dans (C([O, 1],IR), 11-111). On peut faire un travail similaire pour montrer que
la suite Un)neN• n'est pas convergente dans (C([O, 1],IR), 11-112).
4. La suite Un)neN• est de Cauchy mais non convergente dans les espaces
(C([O, 1],IR), 11-111) et (C([O, 1],IR), 11-112). Ils ne sont donc pas complets.
16.5 Comparaison des différents
types de convergence
On considère, dans cette section, une suite Un)neN d'éléments de C([a, b], IR)
et fun élément de C([a, b], IR).
Proposition 16.14 Pour tout élément f de C([a,b],IR), on a:
1. llfll1 ~ ./b - all/112,
2. 11/112 ~ ./b - all/lloo
3. 11/111 ~ (b - a)llflloo·
Preuve.
1. Utilisons l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
11/111 = 1b lf(t)l.ldt ~ llflldlll2 = ./b - all/112·
2.
11/112 = 1b f2(t)dt ~ 1b llfll~dt = ./b - allflloo·
3. Il suffit d'utiliser les deux inégalités précédentes pour obtenir la troisième .
Proposition 16.15 Si la suite Un)neN converge uniformément vers f sur le
segment [a, b] alors elle converge,
1. simplement sur [a, b],
2. en moyenne sur [a, b],
3. en moyenne quadratique sur [a, b].
Preuve. Il suffit d'utiliser la proposition 16.14
Proposition 16.16 Si la suite Un)neN converge en moyenne quadratique vers
f sur le segment [a, b] alors elle converge en moyenne vers f.
Preuve. Il suffit d'utiliser la proposition 16.14
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