16.4. CONVERGENCES EN MOYENNES
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16.4 Convergences en moyennes
Proposition 16.12 Soient a et b deux réels vérifiant a< b. L'application 11-111
définie sur C([a, b], IR) par :
'v'I E C([a,b],IR), 111111 = 1b ll(t)ldt,
est une norme sur C ( [a, b], lR) appelée norme 1.
Preuve. Évident.
Il
Définition : Si une suite de fonctions (/n)nEN converge en norme 1 vers
une fonction 1, on dit qu'elle converge en moyenne vers f.
Proposition 16.13 Soient a et b deux réels vérifiant a < b. L'application
< ., . > définie sur (C([a, b], IR)) 2 par :
'v'(f,g) E (C([a,b],JR)) 2 , < l,g >= 1b l(t)g(t)dt,
est un produit scalaire sur C([a, b], IR). La norme euclidienne associée est notée
11-112 et appelée norme 2.
Preuve. Évident.
Il
Définition : Si une suite de fonctions Un)nEN converge en norme 2 vers
une fonction 1, on dit qu'elle converge en moyenne quadratique vers 1Exercice 16.4 Pour tout entier n strictement positif, on considère la fonction ln
définie sur [O, 1] par
'v't E [0, 1],
1. Montrer que, pour tout entier strictement positif n, l'application ln est continue
sur le segment [O, 1].
2. Montrer que la suite (/n)nEN• est une suite de Cauchy dans l'espace C([O, 1], IR)
muni de la norme 1 ou de la norme 2.
3. Montrer que cette suite n'est pas convergente dans l'espace C([O, 1], JR) muni de
la norme 1 ou de la norme 2.