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2.
SUITES DE FONCTIONS. DIVERS TYPES DE CONVERGENCE
Vx E ~' Un* f)(x) = 1-:
00 fn(X - t)f(t)dt =lb f n(X - t)f(t)dt.
La restriction de la fonction f n au segment [- ( b - a), ( b - a)] est une fonction
polynomiale de degré 2n. En remarquant que,
V(x, t) E [a, b]2, -(b - a) :::; x - t:::; b - a
la fonction définie sur [a, b] 2 par (x, t) f-+ fn(x - t) est polynomiale dont le
degré en x est 2n. Il existe ainsi (2n+l) fonctions polynomiales Po, Pi,··· , P 2 n
vérifiant
2n
V(x,t) E [a,b]2, fn(x-t) = :~:::>kpk(t).
k=O
Donc,
Vx E [a, bJ, (f. • f)(x) = J.' fn(X - t)f(t)dt = ~ x' ( J.' ll,(t)f(t)dt) .
La restriction de Un*!) au segment [a, b] est une fonction polynomiale.
3. L'application f est continue sur l'intervalle ]a, b[ donc uniformément continue
sur chaque segment inclus dans ]a, b[. D'après la proposition 16.10, la suite
de fonctions polynomiales f n * f converge uniformément vers f sur chaque
segment inclus dans ]a, b[.
De cet exercice, on peut déduire le
16.3.3 Théorème de Weierstrass
Théorème 16.11 (Weierstrass) Toute application f continue sur un segment
[a, b], à valeurs dans ~ ou C est limite uniforme sur ce segment de fonctions
polynômes.
Preuve. Soit f une application continue sur un segment [a, b] à valeurs dans K.
On considère l'application j définie sur~. nulle en dehors du segment [a -1, b + 1]
avec
{
Vx E [a, b], f(x) = f(x)
Vx E [a -1,a[, f(x) = f(a)
Vx E]b, b + l], f(x) = f(b)
Il suffit alors d'appliquer les résultats obtenus dans l'exercice précédent.
.S.
Il existe d'autres preuves de ce théorème, en particulier une preuve probabiliste,
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