16.3. PRODUIT DE CONVOLUTION. APPROXIMATIONS DE L'UNITÉ
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Exercice 16.3 Dans cet exercice, on considère un segment [a, b]. Pour tout entier
naturel n, on définit l'application 9n par
9n : lR ----> JR+
t f---+ ].[-(b-a),(b-a)J (t). ( 1 - ( b~a )2) n,
puis l'application fn par
J n = J~: ::(t)dt.
1. Montrer que la suite Un)nEf'il est une approximation de l'unité.
On considère f une application définie et continue par morceaux sur lR à valeurs
dans OC, nulle en dehors du segment [a, b] et dont la restriction à l'intervalle ]a, b[
est continue.
2. Montrer que pour tout entier naturel n la restriction de l'application fn * f à
l'intervalle [a, b] est une fonction polynomiale.
3. En déduire que sur tout segment inclus dans l'intervalle ]a, b[ la suite de fonctions
polynomiales fn * f converge uniformément vers f.
Solution.
1. Pour tout entier naturel n, l'application f n est continue et positive et bornée
sur IR, d'intégrale 1 sur cet intervalle. Montrons que la suite Un)nEf'il est une
approximation de l'unité. Il suffit pour cela de vérifier la troisième condition
de la définition.
\fn EN, 1:
00 9n(t)dt 2 fo(b-a) 9n(t)dt 2 fo(b-a) ( 1 - ( b ~a)) n dt= ! + ~
Soit a un réel strictement positif que l'on peut supposer inférieur à (b - a).
L'application 9n étant paire,
t.I>· g.(t)dM r· (i- (b~sr dt s 2 f.' -· (i- (b:.rr dt
S 2(b-a) (i -(b:J)"
Donc,
Nous pouvons conclure en remarquant que
lim (n+l) (i-(-ba )
2
)n =Ü.
n-->+oo
- a