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2.
SUITES DE FONCTIONS. DIVERS TYPES DE CONVERGENCE
Vn ~ 1, (gn * f)(x) = j+oo 9n(t)J(x - t)dt = n [!. f(x - t)dt,
-OO
.Io
1
Vn ~ 1, (9n * f)(x) - f(x-) = n 1n f(x - t)dt - f(x-)
1
= n Ion (f(x - t) - f(x-))dt.
Soit e un réel strictement positif. Choisissons un réel strictement positif a
vérifiant
Vt E IR, 0 < t:::; a=? lf(x - t) - f(x-)1:::; e.
Choisissons un entier strictement positif no vérifiant n~ :::; a. Alors,
1
Vn ~no, l(9n * f)(x) - f(x-)1 :::; n Ion edt = e.
D'où,
lim (gn * f)(x) = f(x-).
n->+oo
On montrerait de même,
lim (hn * f)(x) = f(x+).
n->+oo
3. (a) Évident
(b) Pour tout entier n strictement positif,
1:
00 kn(t)J(x-t)dt =À l : oo 9n(t)f(x-t)dt+(l-À) 1:
00 hn(t)f(x-t)dt
= À(9n * f)(x) + (1 - .X)(hn * f)(x).
En utilisant la question précédente, on déduit que la suite ((kn*f)(x))nEf>I•
est convergente avec,
Les deux réels f(x+) et f(x_) étant distincts, on peut remarquer que
4. (a) Évident
(b) f(x-) et f(x+) sont deux valeurs d'adhérence distinctes de lasuite((ln*
f)(x))nEN· Elle est ainsi divergente.