16.3. PRODUIT DE CONVOLUTION. APPROXIMATIONS DE L'UNITÉ
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Quelle est la nature de la suite ((fn * f)(x))nEN lorsque l'application f n'est
pas continue au point x ? La proposition précédente nous donne la réponse si les
applications f n sont paires. Dans les autres cas, le comportement dépend essentiellement de l'approximation de l'unité choisie. L'exercice suivant expose divers
cas.
Exercice 16.2 Soit f un élément de CMBI(IR, IR) admettant au moins un point de
discontinuité x vérifiant
f(x+) =f. f(x_).
On considère (gn)nEN* et (hn)nEN* deux suites d'applications numériques de variable
réelle, définies par
\ln~ 1, gn = n.n.(o,-A:J,
\ln~ 1, hn = n.n.[--A:,OJ·
1. Vérifier que (gn)nEN* et (hn)nEN* sont deux approximations de l'unité.
2. Montrer que les suites ((gn * f)(x))nEN et ((hn * f)(x))nEN sont convergentes
avec
lim (gn * f)(x) = f(x-) et lim (hn * f)(x) = f(x+).
n-+oo
n-+oo
3. Soit À un réel. On considère (kn)nEN* une suite d'applications numériques de
variable réelle, définie par
\ln ~ 1, kn = Àgn + (1 - À)hn.
(a) Vérifier que (kn)nEN* est une approximation de l'unité.
(b) Vérifier que la suite ((kn * f)(x))nEN est convergente avec
4. On considère (ln)nEN* une suite d'applications numériques de variable réelle,
définie par
\ln~ 1, {
hn-1 = 9n,
hn = hn.
(a) Vérifier que (ln)nEN* est une approximation de l'unité.
(b) Vérifier que la suite ((ln* f)(x))nEN est divergente.
Solution.
1. On considère les applications g = ]_(O;l] et h = ]_(-l;OJ. Alors,
VnEN*,VxEIR, gn(x)=ng(nx) et hn(x)=nh(nx).
Il suffit de reprendre les résultats de l'exercice 16.1 pour conclure.