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SUITES DE FONCTIONS. DIVERS TYPES DE CONVERGENCE
2. On remarque que, si la continuité de f est uniforme sur un intervalle J,
en reprenant la preuve de la première partie, on peut choisir a puis n 0
indépendamment de chaque réel de l'intervalle J. La convergence est ainsi
uniforme sur I.
3. Pour tout entier naturel n, l'application fn étant paire
[
0
00
fn(t)dt=1+oo fn(t)dt = ~ 1:
00 fn(t)dt = ~·
Soit x un réel. Montrons que
lim r+oo fn(t)f(x - t)dt = -2 1 f(x-).
n-++oo Jo
Vn EN, 11+oo fn(t)f(x - t)dt - ~f(x_), = 11+oo fn(t) (f(x - t) - f(x-)) dt'
:::; 1+oo lfn(t)l · lf(x - t) - f(x-)1 dt.
Soit E: un réel strictement positif. Il existe un réel a strictement positif,
vérifiant
Vt E]O, a], lf(x - t) - f(x-) 1 :::; E:.
On obtient
1+oo lfn(t)l. IJ(x - t) - f(x-)1dt:::;E:1a lfn{t)I dt+2 llJll 00 l+oo lfn{t)I dt
:::; cM + 211/11 00 l+oo lfn{t)I dt.
La suite Un)nEN étant une approximation de l'unité, il existe un entier n0
vérifiant,
1
+00
Vn 2' . no,
a lfn(t)I dt:::; E:.
Ainsi,
Vn 2' . no, 11+oo fn(t)f(x - t)dt - ~f(x_),:::; (M + 2 llfll 00 )c.
On en déduit que
lim r+oo fn(t)f(x - t)dt = ! f(x-).
n-++oo} 0
2
On montre de même que
1
0
1
lim
fn(t)f(x - t)dt = - 2 /(x+).
n-++oo _ 00
On en déduit alors que
lim Un* f)(x) = - 2
1 (f (x-) + f(x+)) .
n-++oo