16.3. PRODUIT DE CONVOLUTION. APPROXIMATIONS DE L'UNITÉ
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Proposition 16.10 Soient Un)neN une approximation de l'unité (respectivement approximation de l'unité T-périodique) et f un élément de CMBI(IR, OC)
{resp. CMT(IR, OC)).
1. Six est un point de continuité de f, alors la suite (Un* f)(x))nEN est
convergente et
lim Un* f)(x) = f(x).
n->+oo
2. Si f est uniformément continue sur un intervalle I, la suite Un* f)neN
converge uniformément vers f sur I.
3. Si, pour tout entier naturel n, l'application fn est paire alors, la suite
Un* f)nEN converge simplement sur lR avec
' Preuve. La preuve est faite dans le cadre d'une approximation de l'unité, la preuve
dans le cadre d'une approximation de l'unité T-périodique étant similaire.
1. Soit x un réel donné.
' 00 fn(t)f(x - t)dt -1-+: fn(t)f(x)dt
j
+oo
= -oo fn(t) U(x - t) - f(x)) dt.
On suppose f continue en x. Soit é un réel strictement positif. Il existe un
réel a strictement positif vérifiant
\:/h E IR, lhl ~a=> lf(x + h) - f(x)I ~ é.
Donc,
' -a
}ltl>a ·
~ éM + 2llflloo { lfn(t)ldt.
}ltl>a
Le réel M est un réel vérifiant la condition 1 dans la définition précédente.
Choisissons un entier naturel n0 vérifiant,
' }ltl>a
Alors,
' On obtient le résultat désiré.