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SUITES DE FONCTIONS. DIVERS TYPES DE CONVERGENCE
Exercice 16.1 On considère f un élément de ~MBI(IR, OC) vérifiant
1
+00
-oo j(t)dt = 1.
On définit la suite Un)neN• par
Vn E N*, Vt E IR, fn(t) = nf(nt).
Montrer que la suite Un)nEN* est une approximation de l'unité.
Solution. Soit n un entier strictement positif. Il est évident que fn appartient à
CMB(IR, OC). En utilisant le changement de variable x =nt, d'une part, on vérifie
l'appartenance de f n à l'espace vectoriel CMBI(IR, OC) car,
1
+00
1+00
1+00
-oo Jf(x)Jdx = -oo Jnf(nt)Jdt = -oo lfn(t)Jdt
et, d'autre part,
1-+: fn(t)dt = 1-:
00 nf(nt)dt = 1-:
00 f(x)dx = 1.
Soit a un réel strictement positif.
Vn ~ 1, i+oo Jfn(t)Jdt = i+oo Jnf(nt)Jdt = 1:
00 Jf(x)Jdx.
Ainsi,
1
+00
lim
Jfn(t)Jdt =O.
n-++oo a
De même
lim 1-a Jfn(t)Jdt =O.
n-++oo _ 00
La suite Un)neN• est ainsi une approximation de l'unité.
Définition : Soit T un réel strictement positif. On appelle approximation de l'unité T-périodique, une suite Un)neN d'éléments de
CMT(IR, OC) vérifiant,
1.
1
+.T.
3M E JR+,Vn EN,
_;r.
2 Jfn(t)Jdt::::; M
2
2.
+f
Vn EN, 1-:r. fn(t)dt = 1.
2
3.
T
(1-a
f+f
)
Va E]O, 2(, n.!!!foo -f Jfn(t)Jdt +la Jfn(t)Jdt =O.