16.3. PRODUIT DE CONVOLUTION. APPROXIMATIONS DE L'UNITÉ
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Proposition-définition 16.9 Soient T un réel strictement positif et f et g
éléments de CMT(IR., OC). On définit l'application f * g par
(f*g): lR. ~ oc
X
f-----+
r:J f(t)g(x - t)dt.
2
Alors,
1. f * g est une application T -périodique.
2. f * g = g * f.
L'application f * g est appelée produit de convolution de f par g.
Preuve.
1.
1 +1: :
1+1::
't:/x E IR., (f*g)(x+T) = _1::
2 f(t)g(x+T-t)dt = _1::
2 f(t)g(x-t)dt = (f*g)(x).
2
2
2. Effectuons le changement de variable u = x - t.
't:/x E IR., (! * g)(x) = 1-:' f f(t)g(x - t)dt = -1x+~'f f(x - u)g(u)du
2
2
x+l ::
+1::
= 1_1::
2 f(x - u)g(u)du = J:r.
2 f(x - u)g(u)du = (g * f)(x).
2
2
16.3.2 Approximation de l'unité
Les produits de convolution dans chacun des espaces CMBI(IR., OC) et CMT(IR., OC)
n'admettent pas d'unité, c'est-à-dire d'élément neutre pour la loi *. Dans cette
sous-section, nous allons définir l'approximation de l'unité. Cette appellation est
justifiée par la proposition 16.10
Définition : On appelle approximation de l'unité, une suite Un)nEN
d'éléments de CMBI(IR., OC) vérifiant,
1.
:JM E JR.+, 't:/n EN, 1-:
00 lfn(t)idt::; M
2.
't:/n EN, 1-:
00 fn(t)dt = 1.
3.
Va >0,
lim {
lfn(t)ldt =O.
n--->+oo }ltl>a