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SUITES DE FONCTIONS. DIVERS TYPES DE CONVERGENCE
16.3 Produit de convolution.
Approximations de l'unité
Dans cette section lK représente soit lR soit Notation : On note CMBI(IR, JK), l'espace vectoriel des applications bornées
définies et continues par morceaux sur lR à valeurs dans lK et dont l'intégrale
sur lR est absolument convergente.
Soit T un réel strictement positif. On note CMT(IR, IK), les éléments de
CM(IR, JK) T-périodiques. Dans cette section, sur le produit de convolution
et les approximations de l'unité, nous allons travailler conjointement dans les
deux espaces CMBI(IR, JK) et CMT(IR, JK), les techniques d'analyse et de calcul
étant similaires.
16.3.1 Produit de convolution
Proposition-définition 16.8 On considère deux applications f et g éléments
de CMBI(IR,IK). Alors pour tout réel x, l'intégrale
1
+=
-= f (t)g(x - t)dt
est absolument convergente. On peut alors définir l'application notée f * g par
(f*g): lR--+ ][{
X
~ r~:: f(t)g(x - t)dt.
On a, de plus,
f*g=g*f.
L'application f * g est appelée produit de convolution de f par g.
Preuve.
' l'intégrale
1
+=
-= lf(t)g(x - t)ldt
est donc convergente pour tout réel x. L'application f * g est définie sur R Il suffit
d'effectuer le changement de variable u = x - t pour vérifier que f * g = g * f. le