16.2. CONVERGENCE UNIFORME
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Théorème 16. 7 Soit Un)nEN une suite de fonctions de classe ci sur un intervalle I à valeurs dans un espace de Banach lF. On suppose que
1. Il existe un élément Xo de I tel que la suite (fn(xo))nEN soit convergente.
2. La suite de fonctions (f~)nEN converge uniformément sur I.
Alors,
1. la suite Un)nEN converge simplement sur I vers une fonction f de classe
ci vérifiant
f' = lim f~.
n-++oo
2. Si l'intervalle I est borné, la convergence est uniforme.
Preuve. Pour tout entier naturel n, l'application f n étant de classe ci nous avons,
Vx E I, f n(x) = fn(xo) + r f~(t)dt.
lxo
Nous noterons l la limite de la suite Un(xo))nEN et g la limite de la suite (f~)nEN·
Soit é un réel strictement positif. D'après les hypothèses, il existe un entier N
vérifiant
1.
Vn ~ N, llfn(xo) - lll Se,
2.
Vn ~ N, Vx E I, llf~(x) - g(x)ll Se.
L'application g est continue puisque limite uniforme d'applications continues. Nous
pouvons alors définir sur I l'application
f: I ----+ lF
X
1-----+
l + J: 0 g(t)dt.
Cette application est de classe ci puisque dérivable sur I de dérivée g. Soit X un
élément de I,
Vn ~ N, llfn(x) - f(x)ll S llfn(xo)-lll + r llf~(t) - g(t)ll dt S e(l + llx-xoll).
lxo
Ainsi,
1. La suite Un)nEN converge simplement vers f.
2. Si I est un intervalle borné, la convergence est uniforme. En effet si l'on note
L(I), la longueur de l'intervalle,
Vn ~ N, llfn(x) - f(x)ll S e(l + L(I)).