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SUITES DE FONCTIONS. DIVERS TYPES DE CONVERGENCE
Preuve. D'après le corollaire 5.10, page 55, C(OC, IF) est un sous-espace vectoriel de
B(OC, IF). D'après la proposition 4.6, page 43, B(OC, IF) l'espace vectoriel des fonctions
bornées sur ][{ à valeurs dans IF muni de la norme uniforme est complet puisque
IF l'est. Le théorème précédent nous indique que C(OC, IF) en est une partie fermée.
Donc ( C (OC, IF), 11-11 00 ) est un espace vectoriel normé complet donc de Banach. .ft
Pour la fin de cette section, IF représente un espace vectoriel normé complet.
Théorème 16.6 Soient Un)nEN une suite de fonctions continues sur un segment [a, b], à valeurs dans un espace de Banach IF et convergente uniformément
sur ce segment vers une fonction f. Alors,
l b f(t)dt = lim lb fn(t)dt.
a
n->+oo a
Preuve. D'après le théorème précédent, l'application f est continue sur le segment
[a, b], donc l'intégrale de f sur ce segment est définie. Soit c un réel strictement
positif. Choisissons un entier naturel N vérifiant,
Vn 2:: N, Vt E [a, b], llfn(t) - f(t)ll ~ c.
Ainsi,
Vn 2:: N, lllb fn(t)dt - lb f(t)dtll ~lb llfn(t) - f(t)ll dt~ (b - a)c.
D'où, le résultat.
Remarque 16.1 On considère l'espace vectoriel CM ( [a, b], IF) des applications continues par morceaux sur [a, b] à valeurs dans l'e.v.n. complet IF. On munit cet espace
de la norme uniforme. Nous avons vu {proposition 13.8, page 188} que l'application
l: CM([a,b],IF)
f
est une application linéaire continue.
------+ IF
~ I: f(t)dt
Dans le théorème précédent, la suite (/n)nEN converge uniformément vers f. L'application I étant continue, la suite (I(fn))nEN converge vers I(f).