16.2. CONVERGENCE UNIFORME
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On en déduit, en passant à la limite,
' La suite Un)nEN converge uniformément vers f sur X.
Réciproquement, considérons une suite d'applications Un)nEN convergentes uniformément sur un ensemble X vers une application f. Soit é un réel strictement
positif. Il existe un entier naturel N vérifiant,
' é
d(fn(x), f(x)) ~ 2·
Donc,
' La suite Un)nEN est uniformément de Cauchy sur X.
16.2.3 Propriétés des limites
Théorème 16.4 On considère (E,d), (E',d') deux espaces métriques, x0 un
point de E et Un)nEN une suite de fonctions définies sur E, continues en xo,
à valeurs dans E' et convergentes uniformément sur E vers une fonction f.
Alors f est continue en xo.
Preuve. Soit é un réel strictement positif. La suite Un)nEN étant uniformément
convergente sur E, choisissons un entier naturel N vérifiant,
' L'application fN étant continue en xo, choisissons un réel a strictement positif
vérifiant,
' Ainsi, pour tout élément x de E vérifiant d(x, x0 ) ~ a, on a
d'(f(x), f(xo)) ~ d'(f(x), fN(x)) + d'(!N(x), fN(xo)) + d'(!N(xo), f(xo)) ~ 3t:.
L'application f est continue au point xo.
Corollaire 16.5 On considère (OC, d) un espace métrique compact, (IF, li.li) un
espace de Banach et C(OC,IF) l'espace vectoriel des fonctions continues sur OC à
valeurs dans IF. L'application ll·lloo définie sur C(OC,IF) par,
' xEIK
est une norme. Muni de cette norme, C(OC, IF) est un espace de Banach.