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SUITES DE FONCTIONS. DIVERS TYPES DE CONVERGENCE
Proposition 16.1 On considère une suite de fonctions Un)nEN et une fonction f, toutes définies sur un ensemble X à valeurs dans un espace métrique
( E, d). La suite (! n )nEN converge uniformément vers f sur X si et seulement
si :
lim sup (d(fn(x), f(x))) = 0
n->+00 xEX
16.2.2 Critère de Cauchy uniforme. Cas des e.v.n. complets
Définition : On considère une suite de fonctions Un)nEN définies sur
un ensemble X à valeurs dans un espace métrique (E, d). On dit que la
suite Un)nEN vérifie le critère de Cauchy uniforme sur X si :
\iê > 0, 3N EN, \in?. N, \ip?. N, \ix EX, d(fn(x), fv(x)) 5:. ê
Proposition 16.2 Une suite de fonctions Un)nEN définies sur un ensemble X
à valeurs dans un espace métrique (E, d) vérifie le critère de Cauchy uniforme
sur X si et seulement si :
\7'€ > 0, 3N EN, \in?. N, \ip?. N, sup (d(fn(x), fv(x))) 5:. €.
xEX
On suppose pour la proposition suivante que l'espace métrique (E, d) est complet.
Proposition 16.3 Une suite de fonctions Un)nEN définies sur un ensemble X,
à valeurs dans un espace métrique complet ( E, d), converge uniformément sur
X si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy uniforme sur cet ensemble.
Preuve. Considérons une suite de fonctions Un)nEN définies sur un ensemble
X, à valeurs dans un espace métrique complet ( E, d) et vérifiant le critère de
Cauchy uniforme sur cet ensemble. Alors, pour tout réel x appartenant à X, la
suite Un(x))nEN est une suite de Cauchy. Cette suite est à valeurs dans l'espace
métrique complet (E, d) . Elle est donc convergente. On peut alors définir sur X,
l'application f par
f: X ----+ E
X
1----+
limn->+oo f n(X ).
Montrons que la suite Un)nEN converge uniformément vers f sur X. Soit€ un réel
strictement positif.
3N EN, \in?. N, \ip?. N, \lx EX, d(fn(x), fv(x)) 5:. ê
Pour tout entier n supérieur à N et tout réel x de l'ensemble X, nous avons
lim d(fn(x), fv(x)) = d(fn(x), f(x)).
p->+oo