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SÉRIES À VALEURS DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ
Exercice 15.11
1. Vérifier que pour tout réel positif a, la série
est convergente.
On considère (JE,+, x, .) une algèbre de Banach unitaire dont la norme est notée
11.11.
2. Soit A un élément de JE. Montrer que la série
est convergente. On notera exp(A) la somme de cette série.
3. Montrer que si A et B sont deux éléments de JE qui commutent, alors
exp(A + B) = exp(A) x exp(B).
4. En déduire que pour tout élément A de JE, exp(A) est un élément inversible de
JE.
Solution.
1. Évident si a = O. Si le réel a est strictement positif, il suffit d'utiliser le
critère de D'Alembert.
2. Soit A un élément de JE. Nous avons,
Vn E N, Il~~ I l ~ 11~\ln.
La série Ln>o !7 est une série absolument convergente à valeurs dans une
algèbre de Banach donc convergente.
3. Soient A et B deux éléments de JE. Le produit de Cauchy de la série Ln>o !7
avec la série Ln:::::o ~7 est la série Ln;:::o Cn telle que
-
VnEN,
n Ak Bn-k
1 n
C _ '°'
_ '°' CkAkBn-k
n - L..J lJ ( - k) 1 - 1 L..J n
'
k=O · n
· n. k=O
Par hypothèse, les deux éléments A et B commutent. Ainsi,
VnEN,
(A+Br
Cn =
n!
Il suffit alors d'utiliser le théorème 15.19 page 253, pour obtenir,
exp( A+ B) =exp( A). exp(B).