15.6. EXERCICES
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Considérons la suite ( Vn)nEN définie par
On note (S~)nEN la suite des sommes partielles de la série LnEN Vn :
n
2n+1
\ln EN, s~ = I>k = L Uk = S2n+l·
k=O
k=O
Or,
2
1
VnEN,
1
1
2 + ( v'2n + 1 - ffn)
Vn =
-
= --=,,..-'------,-----~--,-- r-.J - r-..1 - •
ffn - 1 v'2n + 1 + 1 ( ffn - 1) ( v'2n + 1 + 1) 2n n
La série LnEN Vn est divergente, la suite des sommes partielles (S~)nEN = (S2n+i )nEJ\I
également. On en déduit que la suite (Sn)nEN est divergente ainsi que la série
LnENUn.
tft
Exercice 15.10 Montrer que pour tout réel 0, la série
'°' cosnO
L.,, 2n '
n;::o
est convergente et calculer sa somme.
Solution.
_ n coskO _ ( n eik9)- (1- (e~ 9 r+ 1 )
\ln E N, Sn - L ~ - ~ L 2k - ~ l _ fil!!. .
k=O
k=O
2
Or,
.
1 - ( e~9 r+l 1
2
n.!!~00 1 _ fil!!.
= 1 _ ei9 = 2 _ ei9 ·
2
2
L'application qui, à un nombre complexe associe sa partie réelle étant continue sur
C, la suite (Sn)nEN est convergente avec,
lim Sn=~ (-2-_ ) = ~ (2 ((2 - cosO) + isinO)) = 2 (2 - cosO).
n-++oo
2 - e•9
5 - 4cos0
5 - 4cos0
D'où,
~ cosnO = 2 (2 - cosO).
L.,, 2n
5 - 4 COS ()
n=O