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SÉRIES À VALEURS DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ
est convergente. D'autre part,
1
( 1 )
1
--+o -
r v - -
2n2o
n2a
2n2o'
Les séries correspondantes, à termes positifs, sont de même nature. Elles sont
convergentes si et seulement si a > ! . La série En> 1 Un est convergente si
et seulement si a > ! .
-
2. À l'aide du développement limité en 0 à l'ordre 2 de la fonction cosinus, nous
obtenons le développement asymptotique suivant :
-1
( 1 )
Vn = 2n2o +a n2o .
Nous avons
-1
Vn,...., 2n2o.
La série En;:=::i Vn est convergente si et seulement si a> !·
3. À l'aide des développements limités en 0 à l'ordre 4 de la fonction exponentielle et de la fonction cosinus, nous obtenons le développement asymptotique
suivant:
(-l)n (-1r
1
( 1 )
Wn = ~ + 6n3° + 12n4o +a n4o ·
Les séries de terme général
et
sont convergentes puisqu'elles vérifient le critère des séries alternées. On a
--+o -
r v - -
1
( 1 )
1
12n4o
n4o
12n40 ·
Les deux séries correspondantes sont de même nature. Elles sont convergentes
si et seulement si a > i . La série En> 1 Wn est convergente si et seulement
.
1
-
s1 a> 4 .
Exercice 15.9 Donner la nature de la série de terme général
Un=r,;:;
(
) '
yn- -1 n
Solution. On note (Sn)nEN la suite des sommes partielles :
n
Vn E N, Sn = L Uk.
k=D