15.6. EXERCICES
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Exercice 15. 7 Étudier la nature de la série Ln~ 2 Un avec :
Solution. Utilisons en 0, le développement limité à l'ordre 2 de la fonction x t-t
ln(l + x).
' vn 2n n vn
où c est une application ayant pour limite 0 en O. D'après le critère des séries
alternées, la série de terme général
est convergente. L'équivalence
_ _.!._ + .!.C (- 1 - ) rv _ _.!._
2n
n
...fii,
2n
permet d'affirmer que les deux séries correspondantes, dont les termes sont négatifs
à partir d'un certain rang, sont de même nature. Elles sont toutes deux divergentes.
On en déduit que la série Ln~l Un est divergente. On peut remarquer que
(-1r
U r v - -
n
Vn
et les deux séries correspondantes ne sont pas de même nature.
Exercice 15.8 Étudier, suivant la valeur du réel a strictement positif, la nature des
séries de terme général :
~
1. Un= e n - 1,
2. Vn =COS (n 1 "') -1,
3. Wn = Un + Vn·
Solution.
1. À l'aide du développement limité en 0 à l'ordre 2 de la fonction exponentielle,
nous obtenons le développement asymptotique suivant :
(-l)n
1
( 1 )
Un= ---;:;;a+ 2n2°' + o n2a
D'après le critère des séries alternées, la série de terme général