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SÉRIES À VALEURS DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ
2. Les fonctions t 1--+ ln t et t 1--+ Vt vérifient les propriétés énoncées au début
de l'exercice.
(a)
ln Intdt =(tint- t]~ = nlnn -n + 1,...., nlnn.
D'où,
(b)
D'où,
n
Llnk,...., nlnn.
k=l
Exercice 15.6 Donner, suivant la valeur du réel a, la nature de la série :
Solution.
L cosna.
n;:::1
n
1. Si a = 2k7r (k E Z) alors la série est la série de terme général ~- Elle est
divergente.
2. Si a n'est pas un multiple entier de 211", montrons que la série est convergente
en utilisant la règle d'Abel. La suite (~)nEN• est décroissante et convergente
vers O. Montrons que la suite (Sn)nEN* définie par
est bornée.
n
'
'
La suite (eina)nEN* est une suite géométrique de raison eia ':11. Donc,
'
2
ISnl :::; I
· 1 .
1 - e'°'
La suite (Sn)nEN• est bornée et la série Ln;:::i co':ina est convergente.
SÉRIES À VALEURS DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ
2. Les fonctions t 1--+ ln t et t 1--+ Vt vérifient les propriétés énoncées au début
de l'exercice.
(a)
ln Intdt =(tint- t]~ = nlnn -n + 1,...., nlnn.
D'où,
(b)
D'où,
n
Llnk,...., nlnn.
k=l
Exercice 15.6 Donner, suivant la valeur du réel a, la nature de la série :
Solution.
L cosna.
n;:::1
n
1. Si a = 2k7r (k E Z) alors la série est la série de terme général ~- Elle est
divergente.
2. Si a n'est pas un multiple entier de 211", montrons que la série est convergente
en utilisant la règle d'Abel. La suite (~)nEN• est décroissante et convergente
vers O. Montrons que la suite (Sn)nEN* définie par
est bornée.
n
'
'
La suite (eina)nEN* est une suite géométrique de raison eia ':11. Donc,
'
2
ISnl :::; I
· 1 .
1 - e'°'
La suite (Sn)nEN• est bornée et la série Ln;:::i co':ina est convergente.