15.6. EXERCICES
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Exercice 15.5 On considère une fonction à valeurs réelles définie et dérivable sur
l'intervalle [1, +oo[. On suppose que limx-++oo f(x) = +oo et que la dérivée f' est
bornée sur [1, +oo[.
1. Vérifier que la série En~l f(n) est divergente et montrer que
Sn = ~ J(k) "'ln J(t)dt.
2. Application : Donner un équivalent des suites définies pour tout entier naturel
n par
(a)
n
Sn= 'L:lnk,
k=l
(b)
n
Sn= L./k.
k=l
Solution.
1. La suite (f(n))nEN ne converge pas vers 0, donc la série En>l f(n) est divergente. Soit M un réel positif vérifiant
-
' Alors,
' Ainsi,
lim J;:_ 1 f(t)dt - f(n) = 0
n-++oo
J(n)
et
(1: 1 f(t)dt - f(n)) = o(f(n)).
Nous obtenons,
1: 1 f(t)dt"' f(n).
D'après la proposition 15.5, nous avons
~ f(k) "'~ 1~1 f(t)dt.
Ces suites ont pour limite +oo lorsque n tend vers +oo,
~ J(k) "'~ J(k) "'ln J(t)dt.