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SÉRIES À VALEURS DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ
(b) Nous avons g 2 = O. Ainsi, la série Ln~o gn est convergente avec
+oo
'Lgn=1d+g.
n=O
Exercice 15.3 Déterminer la nature des séries de terme général
1 u = ln n2+n+l
· n
n2+n-1'
2. Vn = n+{-i)nyn'
Solution. Nous remarquons que les deux séries sont à termes positifs.
1.
2.
Vn ~ 1, Un = ln (1 + 2
2
) .
n +n-1
Ainsi,
2
2
U rv
r v -
n
n2 + n -1 n2 ·
La série Ln~O Un est convergente.
La série Ln~O Vn est divergente.
1
Vn rv - .
n
Exercice 15.4 Montrer que la série
1
L n(n+ 1)
n~l
est convergente et calculer sa somme.
Solution.
n
1
n ( 1
1 )
n 1 n+l 1
1
Vn ~ l, Sn = ~ k(k + 1) = ~ k - k + 1 = ~ k - ~ k = 1 - n + 1 ·
La suite (Sn)nEN* est convergente vers 1. Il en est de même de la série.
+oo
1
~ n(n+ 1) = 1.