15.6. EXERCICES
2. Montrer que la série Ln~o fn est convergente et indiquer sa limite.
3. On considère g l'endomorphisme de ~ 2 • défini par
{ g(l; 0) = (O; 5)
g(O; 1) = (O; 0)
(a) Calculer llYllc si l'on munit ~n de sa norme euclidienne canonique.
(b) Montrer que la série Ln~o gn est convergente et indiquer sa limite.
Solution.
1. Nous avons
n
n
n+l
259
Vn E N, (Id - f) 0 Sn = z)!k - Jk+l) = L fk - L fk = Id - r+ 1 .
k=O
k=O
k=l
La norme ll·llc étant une norme d'algèbre,
Vri EN, 11r11c :::; llfllê·
Ainsi, la suite l(Id - f) o SnlnEN est convergente avec,
lim (Id-f)oSn=Id.
n-++oo
2. Le réel 1 n'est pas valeur propre de f puisque par hypothèse llfllc < 1. On
en déduit que (Id - f) est un endomorphisme inversible de ~n. On note
(Id - f)- 1 l'endomorphisme inverse. L'application
'1f: .C(~n) -----+ .C(~n)
h
1-------+
(Id-f)- 1 oh
est une application linéaire continue (car .C(~n) est de dimension finie). La
suite (Sn)nEN est donc convergente avec
lim Sn= lim (Id- f)- 1 o (id - f) o Sn= (Id - j)- 1 .
n-++oo
n-++oo
Ainsi
+oc
L:r = (Id-f)- 1 .
n=O
3. (a)
V(a, b) E ~ 2 , llg(a, b)ll = 5lal S 5ll(a, b)ll.
De plus,
llg(l, 0)11=511(1, 0)11·
On en déduit que
llYllc = 5.