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SÉRIES À VALEURS DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ
15.6 Exercices
Exercice 15.1 Indiquer pour quelles valeurs du complexe q, la série géométrique de
raison q et de premier terme égal à 1 est convergente. Donner, dans ce cas, la somme
de la série.
Solution.
1. Si q = 1,
Sn= n+ 1.
La série est divergente.
2. Si q # 1,
n k
1- qn+l
Sn=Lq = - -
k=O
l - q
La série est convergente si et seulement si la suite (qn+l )nEN est convergente.
Le nombre complexe q étant différent de 1, elle converge si et seulement si
lql < 1.
Dans ce cas, la somme de la série est le nombre
+=
1
n+l
1
l = lim
L
-q
k=O
n-++ex> 1 - q
1 - q
Exercice 15.2 Soit p un entier strictement positif. On considère .C(JRP) l'espace vectoriel des endomorphismes de JRP. On munit .C(JRP) de la norme 11· 11. c définie par
tif E .C(JRP), llfll.c = sup llf(u)ll
llull=l
où 11·11 est une norme sur JRP. Nous savons proposition 12.7, page 169 que cette norme
est une norme d'algèbre.
On considère, pour cet exercice, un élément f de .C(JRP) de norme strictement inférieure
à 1, c'est-à-dire
llfll.c < 1.
Pour tout entier naturel n, on note fn = f o ···of. Le but de cet exercice est d'étudier
..._,_..,
n fois
la nature de la série Ln~O r. On note (Sn)nEN la suite des sommes partielles.
1. Montrer que la suite définie pour tout entier naturel n par
(Id - f) o Sn
est convergente et indiquer sa limite.