15.5. EXEMPLES D'ESPACES LP(!R)
On suppose désormais p ~ Pl.
N
Vq ~Pi, ~)up,n - Uq,n) 2 ::; llUp - Uqll~::; é.
n=O
Ainsi, en passant à la limite, lorsque q tend vers +oo
N
Vp ~Pl, :~:)up,n - ' Yn) 2 ::; é.
n=O
La majoration des sommes partielles permet d'écrire,
On en déduit que la suite de Cauchy (Up)pEN est convergente vers r.
(l 2 (1R), 11·112) est un espace de Hilbert.
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Remarque 15.4 Pour tout entier naturel p, on considère la suite Up = ( Up,n)nEN
définie par
VnEN,
1
- - 1 l{p}(n).
p+
Pour tout entier naturel p, la suite Up est un élément de l 2 (1R) de norme llUpll2 =
p!l . La série L:p~o Up n'est donc pas absolument convergente. On montre pourtant
qu'elle est commutativement convergente dans l 2 (1R) vers la suite U = (un)nEN
définie par :
VnEN,
1
Un=n+l·
15.5.2 Espaces l 1 (JR)
Proposition 15.22 On considère l'ensemble l 1 (1R) des suites réelles (un)nEN
telles que la série
soit convergente.
1. l 1 (1R) est un espace vectoriel sur IR.
2. L'application définie sur l 1 (JR) par
+oo
(un)nEN 1--+ L lunl,
n=O
est une norme sur l 1 (JR) notée l l · li 1 .
3. L'espace (l1(JR), 11·111) est un espace de Banach.
La preuve est laissée au lecteur.