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SÉRIES À VALEURS DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ
Proposition 15.21 L'espace vectoriel (l 2 (.IR), 11·112) est un espace de Hilbert.
Preuve. On considère (Up)pEN une suite de Cauchy de l 2 (.IR). Pour tous entiers
naturels pet n, on note up,n l'élément de Up d'indice n. Soit ê un réel strictement
positif. Choisissons un entier naturel Po vérifiant
+oo
Vp ;=::Po, \/q ;=::Po, llUp - Uqll2 = ~:)up,n - Uq,n) 2 :' .S ê.
n=O
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a,
Vp ~Po, \/q ;=::Po, lup,n - Uq,nl :' .S ê.
On en déduit que, pour tout entier naturel n, la suite réelle ( up,n)pEN est une suite
de Cauchy donc convergente vers un réel que l'on notera 'Yn·
Montrons que la suite hn)nEN est un élément de l 2 (.IR). La suite (Up)pEN, étant
une suite de Cauchy, est bornée. Soit M un réel vérifiant
Soit N un entier naturel. On a
Or,
N
+oo
\/p E N, L u;,n :' .S L u;,n :' .S M,
n=O
n=O
entraîne, en passant à la limite
N
VNEN, L'Y;::;M.
n=O
La suite des sommes partielles de cette série à termes positifs est majorée. La série
I: 'Y; est donc convergente. La suite r = hn )nEN est un élément de l 2 (.IR).
Montrons pour terminer que la suite de Cauchy (Up)pEN est convergente vers r.
Soit ê un réel strictement positif. Choisissons p1 un entier naturel vérifiant
+oo
\/p ;=::Pi, \/q ~Pi, llUp - Uqll~ = L(Up,n - Uq,n) 2 :' .S ê.
n=O
Soit N et p deux entiers naturels. Alors,
N
N
lim '°'(up n - Uq n) 2 = '°'(up n - 'Yn) 2 .
q~+oo L-J
,
,
L..,.;
,
n=O
n=O