15.5. EXEMPLES D'ESPACES LP(IR)
15.5 Exemples d'espaces lP(JR)
15.5.1 Espaces l 2 (~)
255
Proposition 15.20 On considère l 2 (1R) l'ensemble des suites réelles (un)nEJ\I
telles que la série
soit convergente.
1. l 2 (1R) est un espace vectoriel sur R
2. Si (un)nEJ\I et (vn)nEJ\I sont deux éléments de l 2 (1R), la série Ln>O Un.Vn
est absolument convergente.
-
3. L 'a,pplication définie sur l 2 (IR) X l 2 (IR) par
+oo
((un)nEJ\I, (vn)nEN) f----+ L Un.Vn,
n=O
est un produit scalaire sur l 2 (1R). On note 11-112 la norme euclidienne correspondante.
Preuve.
1. Montrons que l 2 (1R) est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des
suites réelles.
(a) l 2 (1R) est non vide puisque la suite nulle en est un élément.
(b) Considérons (un)nEJ\I et (vn)nEJ\I deux éléments de l 2 (1R). En utilisant
l'inégalité
't:/(a, b) E IR. 2 , (a+ b) 2 :::; 2(a 2 + b 2 ),
on vérifie que la suite (Un+ Vn)nEJ\I appartient à l 2 (JR).
( c) Il est évident que l 2 (IR) est stable par multiplication par un réel.
L'ensemble l 2 (1R) est donc un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des
suites réelles.
2. En utilisant l'inégalité,
't:/(a, b) E IR. 2 ,
on en déduit
VnEN,
et la convergence absolue de la série Ln?:O UnVn·
3. Il est évident que l'application citée dans la proposition est bilinéaire symétrique
définie positive. Elle est donc un produit scalaire.