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SÉRIES À VALEURS DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ
2. On suppose maintenant que les séries Ln>O Un et Ln>o Vn sont à valeurs
dans une algèbre de Banach. Par hypothèse, ces séries sont absolument
convergentes. En appliquant la première partie de la preuve, on peut dire
que la série de terme général z:::::=o llukll·llvp-kll est convergente avec
C'est-à-dire,
C'est-à-dire,
Cette limite commune étant réelle et pour tout entier naturel, l'ensemble Tn
étant inclus dans l'ensemble Cn on a,
lim
n-++oo
(p,q)ECn \Tn
Revenons aux sommes partielles des séries initiales. Par hypothèse la suite
(SnS~)nEN est convergente. Or,
VnEN, llSnS~-S~ll =
L UpVq - L UpVq =
(p,q)ECn
(p,q)ETn
<
(p,q)ECn \Tn
(p,q)ECn \Tn
On en déduit que
lim (SnS~ - S~) = O.
n-++oo
L UpVq
(p,q)ECn \Tn
La suite (S~)nEN est convergente de même limite que celle de la suite (SnS~)neN·
D'où, le résultat.