15.4. SÉRIES À VALEURS DANS UN BANACH
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Théorème 15.19 Soient Ln>O Un et Ln>O Vn deux séries à valeurs dans une
algèbre de Banach, absolument convergentes. Alors le produit de Cauchy de la
série Ln>o Un avec la série Ln>O Vn, noté Ln>O Wn, est une série absolument
convergente et on a
-
-
Preuve. Pour cette preuve, on considère pour tout entier naturel n, les ensembles
Tn et Cn définis par
Tn = {(p, q) E N 2 /p + q::; n} et Cn = {(p, q) E N 2 /p::; n, q::; n}.
On remarque que pour tout entier naturel n,
On note ainsi les différentes sommes partielles :
D'une part
n
Vn EN, Sn= L Uk,
k=O
n
n k
n
n
S~= LWk·
k=O
Vn EN, s~ = LWk = LLUpVk-p = L L UpVq = L UpVq·
k=O
k=O p=O
k=O p+q=k
(p,q)ETn
D'autre part,
SnS~ = (t Up) · (t Vq) = L UpVq·
p=O
q=O
(p,q)ECn
1. On suppose dans un premier temps que les séries Ln>o Un et Ln>O Vn sont
à termes réels positifs. Alors,
-
-
VnEN,
L
UpVq ::; L
UpVq ::; L
UpVq,
(p,q)ETn
(p,q)ECn
(p,q)ET2n
c'est-à-dire,
Vn EN, S~ ::; SnS~ ::; S~n·
Par hypothèse, la suite ( SnS~)nEJ.11 est convergente vers ( I:~:C, Un) . ( I:~:C, Vn) .
La suite (S~)nEJ.11 est croissante, majorée donc convergente: la série Ln>o Wn
est convergente. D'après la double inégalité précédente et en passant à-la limite, on obtient
D'où le résultat.