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SÉRIES À VALEURS DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ
Proposition-définition 15.17 On considère (xi)iEI une famille indicée par
un ensemble I dénombrable. On dit que cette famille est sommable s'il existe
une bijection O' de N sur I telle que la série
L Xq(n)
n;::o
soit absolument convergente. Dans ce cas, pour toute bijection 0' 1 de N sur I la
série
L Xq'(n)
n;::o
est absolument convergente avec
+oo
+oo
L x.,.'(n) = L Xq(n).
n=O
n=O
On note alors
+oo
LXi = LXq(n)·
iEJ
n=O
Proposition admise 15.18 (associativité généralisée) On considère I un ensemble dénombrable, (h)kEK une partition de I et (xi)iEI une famille indicée
par I. La famille (xi)iEI est sommable si et seulement si pour tout élement
k de K, la famille (xi)iEh est sommable et si la famille (LiEh Xi) kEK est
sommable. Dans ce cas, on obtient
15.4.5 Produit de Cauchy de deux séries à valeurs
dans une algèbre de Banach
Définition : Soient Ln>O Un et Ln>O Vn deux séries à valeurs dans
une algèbre. On appelle produit de Cauchy (ou produit de convolution)
de la série Ln>o Un avec la série Ln>O Vn, la série Ln>O Wn où Wn =
Lp+q=n UpVq ,,;L;=o UpVn-p·
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