15.4. SÉRIES À VALEURS DANS UN BANACH
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Remarquons que a(J) est un ensemble de cardinal fini, d'entiers supérieurs à no.
Notons p le minimum de Jet q le maximum de J. Ainsi no~ p ~ q et
l l LUu(r)ll ~ Llluu(r)ll ~ tllukll ~é.
rEJ
rEJ
k=p
D'où,
l i t Uu(r) - ~ Ukl l = llL Uu(r) - ~ Uk + L Uu(r)l l
r=O
k=O
kEl
k=O
kEJ
On en déduit que la série Er;:::o Uu(r)est convergente avec
+oo
+oo
L Uu(r) = L Uk.
r=O
k=O
La série Ek;:::o Uk est donc commutativement convergente.
Remarque 15.3 La réciproque est vraie pour les séries à valeurs réelles ou complexes :
Une série réelle ou complexe comutativement convergente est absolument convergente. La réciproque est fausse dans le cadre général d'un espace de Banach. Un
contre-exemple est cité dans la remarque 15.4, page 257.
Corollaire 15.16 La nature et la limite éventuelle d'une série à termes réels
positifs est indépendante de l'ordre de sommation.
15.4.4 Familles sommables
La définition de la somme d'une série repose sur le fait que l'ensemble des
indices est N et donc un ensemble canoniquement ordonné. Dans de nombreux
problèmes, et en particulier pour les probabilités discrètes que l'on verra dans un
chapitre ultérieur, l'ordre des termes ne joue aucun rôle. Le besoin se fait aussi
sentir de définir la somme d'une famille indexée par un ensemble I dénombrable,
indépendamment du choix d'une relation d'ordre dans I.