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SÉRIES À VALEURS DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ
15.4.3 Série commutativement convergente
Définition : Soit ( un)nEN une suite à valeurs dans un espace vectoriel
normé. On dit que la série Ln>o Un est commutativement convergente
si elle est convergente et si pour toute permutation des entiers naturels, la série Ln~O Uu(n) est convergente avec
+oo
+oo
L Uu(n) = L Un.
n=O
n=O
Proposition 15.15 Soit (un)nEN une suite à valeurs dans un espace vectoriel
normé complet. Si la série numérique Ln>o Un est absolument convergente,
elle est commutativement convergente.
-
Preuve. Pour tout entier naturel n, l'ensemble des entiers naturels inférieur ou
égal à n sera noté [[O, n]J.
Soient Ln>o Un une série absolument convergente et c un réel strictement positif.
Considérons un entier naturel no vérifiant
q
Vp?. no, Vq?. p, L llunll :::; c.
n=p
On en déduit en passant à la limite que
n=no
Soit I = L'ensemble I est de cardinal (no+ 1), donc fini. Notons ni son maximum.
Considérons un entier n vérifiant n ?. ni. On a,
I c [[O,n]J
Notons J le complémentaire de I dans l'ensemble [[O, n]J :
J = [[O,n]J \I.
Alors,
n
no
L Uu(r) = L Uu(r) + L Uu(r) = L Uk + L Uu(r)·
r=O
rEl
rEJ
k=O
rEJ