15.4. SÉRIES À VALEURS DANS UN BANACH
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Théorème 15.14 (Règle d'Abel.) Soit L:n>o u~ une série à valeurs dans un
espace vectoriel normé complet (JE, 11.1D. On suppose que
où
(an)nEN est une suite positive, décroissante et convergente vers 0,
la suite des sommes partielles Sn = L:~=O Uk est bornée.
Alors la série L:n~o u~ est convergente.
Preuve. Il suffit de montrer que la suite des sommes partielles (S~)nEN définie
par,
n
'v'n EN, S~ =Lu~
k=O
est convergente.
n
n
n
n
'v'n 2: 2, s~ = L akUk = L ak(Sk-Sk-i)+aouo = L akSk- L akSk-1 +aouo
k=O
k=l
k=l
k=l
n
n-1
n-1
= L:akSk - L:ak+lSk + aouo = L(ak - ak+i)Sk + anSn - aluo + aouo.
k=l
k=O
k=l
La suite (anSn)nEN est convergente vers 0 puisque la suite (an)nEN converge vers
0 et que la suite (Sn)nEN est bornée. La suite (S~)nEN est convergente si la suite
(An)n~2 définie par
n-1
'v'n 2: 2, An= L(ak - ak+i)Sk
k=l
l'est aussi. Montrons que cette dernière est une suite de Cauchy. Soit M un réel
positif vérifiant
'v'n EN, llSnll :::; M.
Par hypothèse, la suite (an)nEN est décroissante et convergente vers O. Soit e un
réel strictement positif. Considérons un entier naturel no vérifiant
'v'n 2: no, 0 :::; an :::; e.
Alors,
Vn;, no, Vp > n, llA,,-A.11 ~ ll~(a, -aw)S•ll
p-1
:::; L M(ak - ak+1) = M(an - ap):::; Man:::; Me.
k=n
Nous venons de montrer que la suite (An)n~ 2 est convergente puisqu'elle est à
valeurs dans un espace de Banach et vérifie le critère de Cauchy. On en déduit que
la suite (S~)nEN et la série L:n~o u~ sont convergentes.
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