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SÉRIES À VALEURS DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ
15.4 Séries à valeurs dans un Banach
15.4.1 Critère de Cauchy
Définition : On dit qu'une série Ln>o Un à valeurs dans un espace
vectoriel normé JE est de Cauchy si elle vérifie la propriété :
q
Ve> 0, 3N EN, q?. p?. N => L uk < e.
k=p
On remarque qu'une série est de Cauchy si et seulement si la suite des sommes
partielles est une suite de Cauchy.
Théorème 15.12 {critère de Cauchy pour les séries.) Une série Ln>o Un à
valeurs dans un espace vectoriel normé complet est convergente si et seulement
si elle est de Cauchy.
Preuve. On considère une série Ln>o Un à valeurs dans un espace vectoriel normé
complet. Elle est de Cauchy si et sëülement si (Sn)nEN la suite des sommes partielles est de Cauchy donc si et seulement si (Sn)nEN est une suite convergente,
c'est-à-dire si et seulement si la série est convergente.
4' t
15.4.2 Série absolument convergente
Définition : Soit ( Un)nEN une suite à valeurs dans JE. On dit que la série
Ln>O Un est absolument convergente si la série numérique L: llunll est
convergente.
Théorème 15.13 Soit (un)nEN une suite à valeurs dans un espace vectoriel
normé complet. Si la série numérique Ln>o Un est absolument convergente,
alors elle est convergente.
-
Preuve. Nous avons pour tout couple d'entiers naturels (p, q) vérifiant q > p
q
q
l:uk :=;I:llukll·
k=p
k=p
La série Ln>O llun Il est convergente, elle vérifie donc le critère de Cauchy. On en
déduit, avec Pinégalité précédente, que la série Ln>O Un vérifie le critère de Cauchy.
Travaillant dans un espace vectoriel normé complet, cette série est convergente . .ft