15.3. CONVERGENCE DES SÉRIES À TERMES RÉELS
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2. Supposons À > 1. Choisissons un réel k appartenant à l'intervalle ]1, .X[. Il
existe un entier naturel no vérifiant
'<:ln ~ no, y'u;; ~ k.
Donc
'<:/n ~ no, Un ~ kn.
Il suffit d'utiliser le corollaire 15.3 pour conclure.
15.3 Convergence des séries à termes réels
Théorème 15.11 (Critère des séries alternées.) Soit (an)nEN une suite à
termes positifs, décroissante et tendant vers O. Alors la série L.:n>o(-lran
converge· et la suite des restes Rn définie par
-
+oo
VnEN, Rn= L (-l)kak
k=n+l
vérifie
Preuve. On note (Sn)nEN la suite des sommes partielles. Nous avons
'<:ln EN, S2n+2 - S2n = a2n+2 - a2n+l :::; 0,
'<:ln EN, S2n+3 - S2n+1 = a2n+2 - a2n+3 ~ 0,
'<:ln EN, S2n+l - S2n = -a2n+i·
Les deux suites extraites (S2n)nEN et (S2n+i)nEN sont adjacentes donc convergentes vers la même limite. On en déduit que la suite (Sn)nEN est convergente vers
cette limite commune. La série L.:n>o(-l)nan est convergente. Les deux suites
(S2n)nEN et (S2n+i)nEN étant adjacentes
2n+l
+oo
2n
'<:ln EN, L (-llak :::; L(-l)kak :::; L(-l)kak.
k=O
k=O
k=O
Donc,
De même,
2n+l
+oo
2n+2
'<:ln EN, L (-l)kak:::; L(-l)kak:::; L (-l)kak,
k=O
k=O
k=O
On en déduit que,