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SÉRIES À VALEURS DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ
Donc
On montre par une récurrence évidente que
La série de terme général kn-noun 0 est une série géométrique convergente.
Il suffit d'utiliser le corollaire 15.3 pour conclure.
2. Supposons À > 1. Choisissons un réel k appartenant à l'intervalle ]1, À[. Il
existe un entier naturel no vérifiant
Vn :'.:'.no, Un+l > k.
Un -
Donc
On montre par une récurrence évidente que
La série de terme général kn-noun 0 est une série géométrique divergente. Il
suffit d'utiliser le corollaire 15.3 pour conclure.
Proposition 15.10 {Règle de Cauchy}. Soit Ln~O Un une série à termes
strictement positifs telle que
lim ytu,:;" = À.
n-++oo
Alors
1. si À < 1, Ln~O Un converge;
2. si À > 1, Ln~o Un diverge.
Preuve.
1. Supposons À < 1. Choisissons un réel k appartenant à l'intervalle ]À, 1[. Il
existe un entier naturel no vérifiant
V n :' .:' . no , ytu,:;" ::; k.
Donc
Il suffit d'utiliser le corollaire 15.3 pour conclure.