15.2. CONVERGENCE DES SÉRIES À TERMES RÉELS POSITIFS
245
On en déduit que l'intégrale et la série sont convergentes si et seulement si
a> 1.
2. Si a E]O, 1[,
Ainsi,
3. Si a > 1, alors
!
n dt = nl-a - 1 ,....., nl-a.
1 t"'
1-a
1-a
Vn 21,
nl-a
Sn,....., - 1 - - .
-a
1
+oo dt
1
n
t"' = (a - l)n"'-1 .
La vitesse de convergence de cette suite est lente puisque la suite de terme
général
(a-l){~H)" 1 = _n_
1 ( )a-1
(a-l)n" 1
n + 1
est convergente vers 1. En utilisant la proposition précédente, nous obtenons
Corollaire 15.8 La suite ( un)neN• définie par
Vn 21,
n 1
Un= L k -lnn,
k=l
est convergente. Sa limite est notée 'Y et appelée constante d'Euler.
Proposition 15.9 {Règle de D'Alembert). Soit Ln>O Un une série à termes
strictement positifs telle que
-
Alors
1 .
Un+l
,
lm - - = /\.
n--++oo Un
1. si À < 1, Ln~O Un converge;
2. si À> 1, Ln~o Un diverge.
Preuve.
1. Supposons À < 1. Choisissons un réel k appartenant à l'intervalle ]À, l[. Il
existe un entier naturel no vérifiant
Vn 2 no, Un+l < k.
Un -